Question

如图，已知二次函数y=-x²+mx+4m的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C，且（x₁+x₂）-x₁x₂=10。

（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；
（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S，请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由根与系数的关系，得， ∵（x1+x2）﹣x1x2=10， ∴m+4m=10，m=2， ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+8； （2）由-x2+2x+8=0，解得x1=-2，x2=4， y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9， ∴B，C，M的坐标分别为B（4，0），C（0，8），M（1，9）； （3）如图，过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3， ∵OH=t（1＜t＜4）， ∴BH=4-t， 由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4﹣t）， ∴S=（PH+CO）·OH=（12-3t+8）t =-t2+10t（1＜t＜4）， S=-t2+10t=-（t-）2+， ∵1＜＜4 ∴当t=时，S有最大值，其最大值为。