Question

如图，在△ABD中，C为AD上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：①首先利用有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，设BE为x，求得DE用x表示；②作DE垂直于AB的延长线于点E，设AC为y，利用平行线分线段成比例，用x表示y；③再利用△ABC∽△AED，求得BC（用含x的式子表示），最后在Rt△ABC中再利用勾股定理建立方程，求出x，从而解决问题．
解答：解：如图，作DE垂直于AB的延长线于点E，
在Rt△BED中，∠EBD=180°-∠ABC-∠CBD=180°-90°-30°=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE，设BE为x，则DE==x；
∵∠ABC=90°，∠AED=90°，
∴BC∥ED，
∴=，设AC为y，则y=；
又△ABC∽△AED，
∴=，
即=，则BC=；
在Rt△ABC中，
AB²+BC²=AC²，
即1²+=，
整理得4x⁴+2x³-2^x-1=0，
（2x+1）（2x³-1）=0，
∴2x³-1=0，
x=，
∴AC==；
故选B．
点评：此题综合考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例等知识，属于综合题目．