Question

如图，拋物线y₁=ax²-2ax+b经过A(-1，0)，　 C(2，)两点，与x轴交于另一点B；

　 (1) 求此拋物线的解析式；

　 (2) 若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=y₂，求y₂与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

　 (3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与(2)中的

　　 函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：(1) ∵拋物线y₁=ax²-2ax+b经过A(-1，0)，C(0，)两点，∴，∴a= -，

　 　　　b=，∴拋物线的解析式为y₁= -x²+x+。

　 (2) 作MN⊥AB，垂足为N。由y₁= -x²+x+易得M(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45°。根据勾股定理有BM ²-BN ²=PM ²-PN ²。

　　 ∴(2)²-2²=PM²= -(1-x)²…j，又∠MPQ=45°=∠MBP，

　　 ∴△MPQ~△MBP，∴PM²=MQ?MB=y₂?2…k。

　　 由j、k得y₂=x²-x+。∵0∠x<3，∴y₂与x的函数关系式为y₂=x²-x+(0∠x<3)。

(3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是

　　 m+n=2(0∠m∠2，且m¹1)。∵点E、G是抛物线y₁= -x²+x+

　　 分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为

　　 E(m，-m²+m+)，G(n，-n²+n+)。同理，点F、H坐标

　　 为F(m，m²-m+)，H(n，n²-n+)。

　　 ∴EF=m²-m+-(-m²+m+)=m²-2m+1，GH=n²-n+-(-n²+n+)=n²-2n+1。

　　 ∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH。∴m²-2m+1=n²-2n+1，∴(m+n-2)(m-n)=0。

　　 由题意知m≠n，∴m+n=2 (0∠m∠2，且m≠1)。

　　 因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2 (0∠m∠2，且m≠1)。