Question

如图，拋物线y1＝ax2－2ax＋b经过A(－1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B；

(1)求此拋物线的解析式；

(2)若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且∠MPQ＝45°，设线段OP＝x，MQ＝y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x＝m，x＝n分别与拋物线交于点E，G，与(2)中的函数图像交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解∶(1)∵拋物线y1＝ax2－2ax＋b经过A(－1，0)，C(0，)两点，∴，∴a＝－，b＝，∴拋物线的解析式为y1＝－x2＋x＋． 　　(2)作MN⊥AB，垂足为N．由y1＝－x2＋x＋易得M(1，2)， 　　N(1，0)，A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4，MN＝BN＝2，MB＝2， 　　∠MBN＝45°．根据勾股定理有BM2－BN2＝PM2－PN2． 　　∴(2)2－22＝PM2＝－(1－x)2　①，又∠MPQ＝45°＝∠MBP， 　　∴△MPQ∽△MBP，∴PM2＝MQ×MB＝y2×2．②． 　　由①、②得y2＝x2－x＋．∵0≤x＜3，∴y2与x的函数关系式为y2＝x2－x＋(0≤x＜3)． 　　(3)四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m＋n＝2(0≤m≤2，且m≠1)．∵点E、G是抛物线y1＝－x2＋x＋ 　　分别与直线x＝m，x＝n的交点，∴点E、G坐标为 　　E(m，－m2＋m＋)，G(n，－n2＋n＋)．同理，点F、H坐标 　　为F(m，m2－m＋)，H(n，n2－n＋)． 　　∴EF＝m2－m＋－(－m2＋m＋)＝m2－2m＋1，GH＝n2－n＋－(－n2＋n＋)＝n2－2n＋1． 　　∵四边形EFHG是平行四边形，EF＝GH．∴m2－2m＋1＝n2－2n＋1，∴(m＋n－2)(m－n)＝0． 　　由题意知m≠n，∴m＋n＝2(0≤m≤2，且m≠1)． 　　因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m＋n＝2(0≤m≤2，且m≠1)．