Question

如图，在△COD中，以O为圆心的⊙O与边CD交于A、B两点，与OC、OD两边分别交于点E、F，且CE=DF．?
（1）求证：AC=BD；
（2）若AB=4，tanD=

2

5

，BD=3，求⊙O的半径的长．

Answer 1

考点：垂径定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）先根据OE=OF，CE=DF得出OC=OD，过点O作OG⊥AB于点G，则CG=DG，根据垂径定理可得出AG=BG，故可得出结论；
（2）先根据垂径定理求出BG的长，由tanD=

2

5

，BD=3得出OG的长，再根据勾股定理求出OB的长即可．

解答：（1）证明：∵OE=OF，CE=DF，
∴OC=OD．
过点O作OG⊥AB于点G，则CG=DG，AG=BG，
∴CG-AG=DG-BG，即AC=BD；

（2）连接OB，
∵OG⊥A，AB=4，
∴BG=

1

2

AB=2．
∵BD=3，tanD=

2

5

，
∴DG=BG+BD=2+3=5，
∴

OG

DG

=

OG

5

=

2

5

，
∴OG=

2

，
在Rt△OGB中，OB=

OG2+BG2

=

( 2 )2+22

=

6

．
答：⊙O的半径长是

6

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．