Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1．下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＞-

1

2

；④b²+8a＞4ac中正确的有 （　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由于x=-2时对应的函数值为负数，可判断①正确；利用对称轴的大致位置得到-1＜-

b

2a

＜0，再根据a＜0和不等式的性质得到2a＜b，即2a-b＜0，则可判断②正确，由于a＞-

1

2

时不能确定a＜0，则可判断③错误；根据抛物线上点的坐标特征得到a-b+c=2，即c=2-a+b，再计算b²+8a-4ac得到b²+8a-4a（2-a+b）=b²-4ab+4a²=（b-2a）²，由于2a＜b，则有b²+8a-4ac＞0，于是可判断④正确．

解答：解：∵x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，
∴-1＜-

b

2a

＜0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜b，即2a-b＜0，所以②正确，③错误；
∵y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，2），
∴a-b+c=2，
∴c=2-a+b，
∴b²+8a-4ac=b²+8a-4a（2-a+b）=b²-4ab+4a²=（b-2a）²，
而2a＜b，
∴b²+8a-4ac＞0，即b²+8a＞4ac，所以④正确．
故答案为①②④．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与系数的关系：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；抛物线与y轴交于（0，c）；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．