Question

等腰△ABC中，AB=AC，有一个角为36°，则tanB的值为

 

．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：计算题

分析：根据等腰三角形的性质得∠BAC=36°，∠B=∠ACB=72°，作∠ACB的平分线CD，AH⊥BC于H，如图，则BH=CH，∠BCD=∠ACD=36°，再根据等腰三角形的判定定理得DA=DC=BC，根据相似的判定得△CBD∽△ABC，利用相似比得到AD²=BD•AB，则根据黄金分割的定义有AD=

5 -1

2

AB，设AB=2，则AD=

5

-1，
BC=

5

-1，BH=

5 -1

2

，在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH²=

5+ 5

2

，接着利用正切的定义得到tan²B=5+2

5

，然后利用算术平方根的定义即可得到
tanB的值．

解答：解：∵AB=AC，有一个角为36°，
∴∠BAC=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
作∠ACB的平分线CD，AH⊥BC于H，如图，
则BH=CH，∠BCD=∠ACD=36°，
∴∠BDC=72°
∴DA=DC=BC，△CBD∽△ABC，
∴BC：AB=BD：BC，
∴AD²=BD•AB，
∴D点为AB的黄金分割点，
∴AD=

5 -1

2

AB，
设AB=2，则AD=

5

-1，
∴BC=

5

-1，
∴BH=

5 -1

2

，
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²=2²-（

5 -1

2

）²=

5+ 5

2

，
∴tan²B=

AH2

BH2

=

5+ 5 2

( 5 -1 2 )2

=5+2

5

，
∴tanB=

5+2 5

．
同理，当∠ABC=∠ACB=36°时，tanB=

5-2 5

．
综上所述，tanB=

5+2 5

或tanB=

5-2 5

．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．