题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为6的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上，BC是正三角形OAB的高．点P、Q同时从点O出发，点P以1 单位/s的速度
沿O→B→A向点A匀速运动，点Q以1 单位/s的速度沿x轴的正半轴方向匀速运动．当P点到达点A时Q也随之停止运动．设运动时间为x秒（0＜x≤12）．（1）求点B的坐标；
（2）当点P、Q运动到直线PQ与边OB垂直时，求点P运动的时间x的值；
（3）若△OPQ与△OBC重叠部分的面积为S（平方单位），求S与x的函数关系式；
（4）若6＜x＜12时，求点P、Q距离的最小值；并求出P、Q的距离最小时点P的坐标．
分析：（1）根据△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，得出OC=CA=
OA=
×6=3，然后求出BC=tan60°×3=3
，即可得出点B的坐标；
（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，因为∠ABO=60°所以∠1=30°，∠2=30°，因为∠AOP=60°所以∠Q=90°-60°=30°，所以∠α=∠Q，AP=AQ，列方程得12-x=x-6，解出方程即可；
（3）当0＜x＜3，可得出S=
x•x•sin60°=
x2，当3≤x＜6时，根据S=S△OP2Q2-S△CEQ2可得出S与x的函数关系式，当6≤x＜12时，根据S=S△OCF=
×3•CF，作P3H⊥OA，根据△OCH∽△OHP3得出
=
，把x代入，再进行整理即可得出S与x的函数关系式；
（4）根据PQ2=P3H2+HQ23得出PQ2=-x2-18x+108，因为6＜x＜12，所以当x=-9时，求出PQ2有最小值
，然后求出PQ的最小值=
=3
，即可得出P的坐标．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，因为∠ABO=60°所以∠1=30°，∠2=30°，因为∠AOP=60°所以∠Q=90°-60°=30°，所以∠α=∠Q，AP=AQ，列方程得12-x=x-6，解出方程即可；
（3）当0＜x＜3，可得出S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| CF |
| P3H |
| OC |
| OH |
（4）根据PQ2=P3H2+HQ23得出PQ2=-x2-18x+108，因为6＜x＜12，所以当x=-9时，求出PQ2有最小值
| 4×(-1)×108-182 |
| -4 |
| 27 |
| 3 |
解答：解：（1）∵△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，
∴OC=CA=
OA=
×6=3，
∴BC=tan60°×3=3
，
∴点B的坐标是B(3，3
)；
（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，
∵∠ABO=60°∴∠1=30°∴∠2=30°，
∵∠AOP=60°∴∠Q=90°-60°=30°，
∴∠α=∠Q，AP=AQ，
∴12-x=x-6，
∴2x=18，
x=9；
（3）当0＜x＜3，S=
x•x•sin60°=
x2，
当3≤x＜6时，S=S△OP2Q2-S△CEQ2=
x•x•sin60°-
(x-3)•(x-3)•
=-
x2+3
x-
，
6≤x＜12时，S=S△OCF=
×3•CF
．
作P3H⊥OA，
∵△OCF∽△OHP3，
∴
=
=
，
∴CF=
(12-x)S=S△OCF=
×3•
(12-x)=
-
，
∴S与x的函数关系式是：s=
-
，
（4）PQ2=P3H2+HQ23=[
(12-x)]2+(
+x-6)2=x2-18x+108，
∵6＜x＜12当x=-
=9时，PQ2有最小值=
=27，
∴PQ最小=
=3
∴P的坐标是(
，
)．
∴OC=CA=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴BC=tan60°×3=3
| 3 |
∴点B的坐标是B(3，3
| 3 |
（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，
∵∠ABO=60°∴∠1=30°∴∠2=30°，
∵∠AOP=60°∴∠Q=90°-60°=30°，
∴∠α=∠Q，AP=AQ，
∴12-x=x-6，
∴2x=18，
x=9；
（3）当0＜x＜3，S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
当3≤x＜6时，S=S△OP2Q2-S△CEQ2=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 3 |
9
| ||
| 2 |
6≤x＜12时，S=S△OCF=
| 1 |
| 2 |
．作P3H⊥OA，
∵△OCF∽△OHP3，
∴
| CF |
| P3H |
| OC |
| OH |
| CF | ||||
(12-x)•
|
| 3 | ||
6-
|
∴CF=
3
| ||
| x |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| x |
54
| ||
| x |
9
| ||
| 2 |
∴S与x的函数关系式是：s=
54
| ||
| x |
9
| ||
| 2 |
（4）PQ2=P3H2+HQ23=[
| ||
| 2 |
| 12x |
| 2 |
∵6＜x＜12当x=-
| -18 |
| 2 |
| 4×(-1)×108-182 |
| -4 |
∴PQ最小=
| 27 |
| 3 |
∴P的坐标是(
| 9 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质列出方程，要注意的是（3）中，要根据x的取值范围分类求解．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．