Question

【题目】已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．

（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；

（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：=；

（3）如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．

①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程；

②△AMQ的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）①AQ=MQ，见解析，②有，

【解析】

（1）过点P作PF⊥BC于点F，首先利用菱形的性质得出∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4，然后根据平行线的性质得出∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，∠PMF =∠ABC=60°，进而可求出PM,PF,MF的长度，从而FC的长度可求，最后利用勾股定理即可求PC的长度；

（2）过点P作PG⊥BC于点G，设MG=x，由（1）可知：BM=PM=2x，GC=PG=x，然后利用BM+MG+GC=BC求出x的值，进而可求出BM的长度，最后利用平行线分线段成比例即可得出结论；

（3）①延长MQ与CD交于点H，连接AH,AC，首先证明△PMQ≌△CHQ，则有PM=CH=BM，MQ=HQ，然后利用菱形的性质和等边三角形的性质证明 △ABM≌△ACH，则有AM=AH，∠BAM=∠CAH，则△AMH为等边三角形，则利用等边三角形的性质即可得出AQ,MQ之间的关系；

②根据①中的结论有，当AM取最小值时，MQ有最小值，当时，AM最小，求出此时的AM,MQ的值，最后利用求解即可．

解：（1）如图，过点P作PF⊥BC于点F．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4．

∵PM∥AB，

∴∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，∠PMF =∠ABC=60°，

∴PM=BM=1，

∴MF=PM=，PF= ，

∴FC=BC-BM-MF=4-1-=，

∴PC==．

（2）证明：如图，过点P作PG⊥BC于点G．

∵∠PCM=45°，

∴∠CPG=∠PCM=45°，

∴PG=GC．

设MG=x，由（1）可知：BM=PM=2x，GC=PG=x，

由BM+MG+GC=BC得：2x+x+x=4，

∴x=，

∴BM=．

∵四边形ABCD是菱形，

∴BM∥AD，

∴

（3）①如图，延长MQ与CD交于点H，连接AH,AC．

∵PM∥AB∥CD，

∴∠PMQ=∠CHQ，∠MPQ=∠HCQ．

∵Q是PC的中点，

∴PQ=CQ，

∴△PMQ≌△CHQ，

∴PM=CH=BM，MQ=HQ．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠ABM=∠ACH=60°，

∴△ABM≌△ACH，

∴AM=AH，∠BAM=∠CAH，

∴∠MAH=∠BAC=60°，

∴△AMH为等边三角形，

∴AQ⊥MH，∠MAQ=∠MAH=30°，

∴AQ=MQ．

②∵AQ⊥MH，∠MAQ=∠MAH=30°，

，

∴当AM取最小值时，MQ有最小值．

当时，AM最小，此时 ，

∴MQ的最小值为，

此时

∴△AMQ的面积有最小值，最小值为