Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD=45°时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）首先连接OE，由弦DE垂直平分半径OA，根据垂径定理可求得OC与OE的关系，求得CE的长，然后根据直角三角形的性质，求得∠OEC=30°，根据三角函数的性质，则可求得⊙O的半径；
（2）由垂径定理，可得

AE

=

AD

，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠B的度数，即可求得∠EDB的度数，又由EM∥BD，可求得∠MED的度数，继而求得∠MEO=90°，即可证得EM是⊙O的切线；
（3）由∠APD=45°，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠EOF的度数，然后根据S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF，即可求得答案．

解答：（1）解：连接OE．
∵DE垂直平分半径OA，
∴OC=

1

2

OA
∵OA=OE，
∴OC=

1

2

OE，CE=

1

2

DE=

3

2

，
∴∠OEC=30°，
∴OE=

EC

cos30°

=

3 2

3 2

=

3

；

（2）证明：由（1）知：∠AOE=60°，

AE

=

AD

，
∴∠B=

1

2

∠AOE=30°，
∴∠BDE=60°
∵BD∥ME，
∴∠MED=∠BDE=60°，
∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°，
∴OE⊥EM，
∴EM是⊙O的切线；

（3）解：连接OF．
∵∠DPA=45°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDP=45°，
∴∠EOF=2∠EDF=90°，
∴S_阴影=S_扇形EOF-S_△EOF=

90π×( 3 )2

360

-

1

2

×

3

×

3

=

3

4

π-

3

2

．

点评：此题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．