Question

如图所示，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）2-．

【解析】

试题分析：（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．

试题解析：（1）证明：连接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠2=90°．

∴CD是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC=．

在Rt△OCD中，

∵=tan60°，

∴CD=2．

∴SRt△OCD=OC×CD=×2×2=2．

∴图中阴影部分的面积为：2-．

考点：1．扇形面积的计算；2．等腰三角形的性质；3．切线的判定；4．特殊角的三角函数值．