Question

已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，如图所示．
（1）探究四边形EFGH的形状，并证明；
（2）当四边形EFGH是正方形时，请指出四边形ABCD的对角线的关系，并说明理由；
（3）猜想四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：连接AC，BD，交于M点，如图所示，
（1）四边形EFGH为平行四边形，理由为：由E，H分别为AB，AD中点，利用三角形中位线定理得到EH平行且等于BD的一半，同理得到FG平行且等于BD的一半，进而确定出EH与FG平行且相等，即可确定出四边形EFGH为平行四边形；
（2）四边形ABCD对角线相等且垂直，理由为：由E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，利用中位线定理得到EF平行且等于AC的一半，EH平行于BD且等于BD的一半，进而确定出四边形EKMN为平行四边形，得到对角相等，由四边形EFGH为正方形，得到邻边EH=HG且∠NEF为直角，进而得到BD=AC，且AC与BD垂直，得证；
（3）四边形EFGH的面积是四边形ABCD的面积的

1

2

，理由为：由E为AB中点，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到三角形BEK与三角形ABM相似，三角形AEN与三角形ABM相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到三角形EBK面积与三角形ABM面积之比为1：4，且三角形AEN与三角形EBK面积相等，进而确定出四边形EKMN面积为三角形ABM的一半，同理得到四边形MKFP面积为三角形MBC面积的一半，四边形QMPG面积为三角形DMC面积的一半，四边形MNHQ面积为三角形ADM面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形ABCD面积的一半．

解答：解：连结AC、BD且交于点M，
（1）四边形EFGH为平行四边形，理由为：
∵E、H分别是四边形ABCD边AB、AD的中点，
∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD，同理可得，FG∥BD，且FG=

1

2

BD，
∴EH∥FG，且EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD的对角线的关系AC与BD垂直且相等，理由如下：
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴BD∥EH，且BD=2EH，AC∥EF，且AC=2EF，且∠HEF=∠AMB，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=HG，∠NEF=90°．
∴BD=AC，∠NMB=90°，
∴四边形ABCD的对角线的关系AC与BD垂直且相等；

（3）四边形EFGH的面积是四边形ABCD的面积的

1

2

，理由如下：
设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，
∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，
∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，
∴

S△EBK

S△ABM

=

1

4

，S_△AEN=S_△EBK，
∴

S四边形EKMN

S△ABM

=

1

2

，同理可得

S四边形KFPM

S△BCM

=

1

2

，

S四边形QGPM

S△DCM

=

1

2

，

S四边形HQMN

S△DAM

=

1

2

，
∴

S四边形EFGH

S四边形ABCD

=

1

2

．

点评：此题属于相似形综合题，中点四边形，涉及的知识有：三角形中位线定理，平行四边形的判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．