题目内容

如图，BC为半圆O的直径，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）若AB=3，BC=5，cos∠ABE= $数学公式$ ，求ED的长．

解：（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵∠ABD=∠CBD，
∴cos∠ABE=cos∠CBD= $\text{[math]}$ ，
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴cos∠ABE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：BE= $\text{[math]}$ ，
cos∠CBD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：BD=2 $\text{[math]}$ ，
故ED的长为：BD-BE=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由BC为半圆的直径，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由∠ABD=∠CBD，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABE与△DBC相似；
（2）由∠ABD=∠CBD，得出cos∠ABE=cos∠CBD= $\text{[math]}$ ，再利用锐角三角函数关系得出BD，DE的长即可得出答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与圆周角的性质以及三角函数等知识，解题的关键是得出cos∠ABE=cos∠CBD= $\text{[math]}$ ．