Question

如图，BC为半圆O的直径，D为半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，作BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E，已知BC=10，AD=4，若直线CE与以点O为圆心，r为半径的圆相切，则r等于（　　）

A．2

B．2.5

C．3

D．3.5

Answer 1

分析：连接OD，由AD为圆O的切线，得到OD垂直于AD，由BC为圆O的直径，得到BE垂直于EC，又BA垂直于AD，得到EC与AD平行，利用与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直，得到OD垂直于EC，利用垂径定理得到F为EC的中点，由三个角为直角的四边形为矩形得到AEFD为矩形，得到AD=EF=4，可得出EC的长，在直角三角形BEC中，由BC与EC的长，利用勾股定理求出BE的长，再由FO为三角形BEC的中位线，利用中位线定理得到OF为BE的一半，求出OF的长，即为所求圆的半径r．

解答：解：连接OD，与EC交于F点，
∵AD为圆O的切线，
∴OD⊥AD，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BEC=90°，
又BA⊥AD，
∴∠A=90°，
∴∠BEC=∠A=90°，
∴EC∥AD，
∴OD⊥EC，
∴F为EC的中点，即EF=FC，
∵∠A=∠AEF=∠ADF=90°，
∴四边形AEFD为矩形，
∴EF=AD=4，
∴EC=2EF=8，
在Rt△BEC中，BC=10，EC=8，
根据勾股定理得：BE=

BC2-EC2

=6，
∵F为EF的中点，O为BC的中点，
∴OF为△EBC的中位线，
∴OF=

1

2

BE=3，
则r的值为3．
故选C

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．