Question

已知：直线y＝2x＋6与x轴和y轴交于点A、C两点，抛物线y＝－x²＋bx＋c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．

(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；

(2)设点P时直线AC上的一点，且S_⊿ABP∶S_⊿BPC＝1∶3，求点P的坐标．

(3)直线y＝x＋a与(1)中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON＝90°，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)A(－3，0)，C(0，6)得抛物线为： 　　∴B(2，0) 　　(2)过点B作BD⊥AC于D，∵S⊿ABP∶S⊿BPC＝1∶3， 　　∴AP∶PC＝1∶3，由勾股定理得： 　　当点P为线段AC上一点，过点P作PH⊥x轴于点H 　　∴，∴P 　　当点P在CA的延长线上时，同理可得点P的坐标为P 　　∴点P的坐标为或 　　(3)存在a的值，使得∠MON＝90° 　　设M，N＜ 　　由方程组得 　　∴ 　　∴， 　　若∠MON＝90°作MH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G……易证Rt⊿MHO∽Rt⊿OGN 　　∴得：