Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连结AF、BD.

　　(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，

请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然

成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

 

Answer 1

（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD.

　　　 证明：设AF与DC交点为G.

　　　 ∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，

　　　 ∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，

　　 　∴∠BCD=∠ACF.

　　 　∴△ACF≌△BCD.

　　　 ∴AF=BD.，∠AFC=∠BDC.

　　　 ∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA，

　　 　∴∠BDC+∠DGA=90°.

　　 　∴AF⊥BD.

　　 　∴AF=BD且AF⊥BD

　　 　(2)如图，结论：AF=BD且AF⊥BD.

　　    　图形不唯一，只要符合要求即可.

　　   　 画出图形得2分，写出结论得2分，此小题共4分.

如：图1中CD边在△ABC的内部；图2中CF边在△ABC的内部.