Question

已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为斜边AB上任意一点（不与A，B重合），连接CD，作EC⊥DC，且EC=DC，连接AE．
（1）求证：∠E+∠ADC=180°．
（2）猜想：当点D在何位置时，四边形AECD是正方形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形ABC的两腰相等的性质推知AC=CB，根据已知条件∠ACB=∠DCE=90°求得∠ACE=90°-∠ACD=∠DCB，再加上已知条件DC=EC，可以根据全等三角形的判定定理SAS判定△ACE≌△BCD；则由全等三角形的对应角相等的性质得出∠EAC=∠B=45°，然后根据四边形内角和为360°即可证明；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出CD=AD=BD，∠CDA=90°，进而得出四边形AECD是平行四边形，以及平行四边形AECD是矩形，再利用EC=CD，则矩形AECD是正方形．

解答：（1）证明：如图1，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=CB，∠BAC=∠B=45°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°-∠ACD=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC   ∠ACE=∠BCD EC=DC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAB=∠EAC+∠CAB=45°+45°=90°，
∴∠E+∠ADC=360°-∠EAD-∠ECD=360°-90°-90°=180°．

（2）解：当点D在AB中点时，四边形AECD是正方形．理由如下：
如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，点D在AB中点，
∴CD=AD=BD，∠CDA=90°，
∵EC⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴EC∥AD，
∵EC

∥

.

AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠ECD=90°，
∴平行四边形AECD是矩形，
∵EC=CD，
∴矩形AECD是正方形．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的判定和矩形的判定等知识．注意，在证明△ACE≌△BCD时，一定要找准相对应的边与角．