Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为

5

的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积．

Answer 1

分析：（1）本题需先求出OA的长，即可得出点A的坐标，再求出OE、BE的长即可求出B的坐标．
（2）本题须把点B的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求出抛物线的解析式．
（3）本题需先求出点D的坐标，再求出直线BD的解析式，然后求出CF的长，再分别求出△CEB和△CED的面积．

解答：解：∵OC=1，AC=

5

，
∴OA=

AC2-OC2

=2，
∴A的坐标为（0，2），
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
则CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐标为（-3，1）；

（2）把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
a=

1

2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x2+

1

2

x-2，

（3）如图，可求得抛物线的顶点D（-

1

2

，-

17

8

）．
设直线BD的关系式为y=kx+b（k≠0），将点B、D的坐标代入，求得k=-

5

4

，b=-

11

4

，
∴BD的关系式为y=-

5

4

x-

11

4

．
设直线BD和x轴交点为E，则点E（-

11

5

，0），CE=

6

5

．
∴△DBC的面积为

1

2

×

6

5

×(1+

17

8

)=

15

8

．

点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要能运用数形结合思想把二次函数的图象与性质与三角形相结合是解题的关键．