Question

【题目】如图，已知、两点的坐标分别为，，直线与反比例函数的图象相交于点和点．

（1）求直线与反比例函数的解析式；

（2）求的度数；

（3）将绕点顺时针方向旋转角(为锐角)，得到，当为多少度时，并求此时线段的长度．

Answer 1

【答案】（1）直线AB的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）∠ACO=30°；（3）当为60°时，OC'⊥AB，AB'=4．

【解析】

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出n的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；

（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度数；

（3）过点B1作B′G⊥x轴于点G，先求得∠OCB=30°，进而求得α=∠COC′=60°，根据旋转的性质，得出∠BOB′=α=60°，解直角三角形求得B′的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB′的长．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A(0，4)，B(-4，0)代入得：

解得

，

故直线AB解析式为y=x+4，

将D(2，n)代入直线AB解析式得：n=2+4=6，

则D(2，6)，

将D坐标代入中，得：m=12，

则反比例解析式为；

（2）联立两函数解析式得：

解得解得：

或，

则C坐标为(-6，-2)，

过点C作CH⊥x轴于点H，

在Rt△OHC中，CH=，OH=3，

∵tan∠COH=，

∴∠COH=30°，

∵tan∠ABO=，

∴∠ABO=60°，

∴∠ACO=∠ABO-∠COH=30°；

（3）过点B′作B′G⊥x轴于点G，

∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，

∴∠COC′=60°，

∴α=60°．

∴∠BOB′=60°，

∴∠OB′G=30°，

∵OB′=OB=4，

∴OG=OB′=2，B′G=2，

∴B′(-2，2)，

∴AB′==4．