Question

15．如图，点O在△ABC的边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC于F，直线EF是⊙O的切线．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若BD=2DA，cosB=$\frac{1}{3}$，CF=2，求线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OE，如图，根据切线的性质得OE⊥EF，而EF⊥AC，则可判断OE∥AC，根据平行线的性质得∠OEB=∠C，加上∠B=∠OEB，所以∠B=∠C，于是可判断△ABC为等腰三角形；
（2）先在Rt△CEF中，利用余弦的定义可计算出CE=3CF=6，再根据平行线分线段成比例定理，由OE∥AC得$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BO}{OA}$=$\frac{1}{2}$，则BE=$\frac{1}{2}$CE=3，连结DE，如图，由BD为直径得到∠BED=90°，则利用余弦定义可计算出BD，从而得到AB和AC的长，再利用AF=AC-CF进行计算即可．

解答 （1）证明：连结OE，如图，
∵直线EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∵EF⊥AC，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C，
∵OE=OB，
∴∠B=∠OEB，
∴∠B=∠C，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）解：在Rt△CEF中，∵cosC=cosB=$\frac{1}{3}$=$\frac{CF}{CE}$，
∴CE=3CF=6，
∵BD=2DA，
∴BO=OD=AD，
∴OE∥AC，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BO}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$CE=3，
连结DE，如图，
∵BD为直径，
∴∠BED=90°，
∵cos=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=3BE=3×3=9，
∴AB=9×$\frac{3}{2}$=$\frac{27}{2}$，
∴AC=AB=$\frac{27}{2}$，
∴AE=AC-CF=$\frac{27}{2}$-2=$\frac{23}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形与圆周角定理．