Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，直线CF交EM于F点，且CF=EF．
（1）试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的直径为10，且AC=CE=8，求OM的长．

Answer 1

分析：（1）连结OC，由AB是⊙O的直径得到∠BCA=∠ACE=90°，再根据等角的余角相等得到∠A=∠E，由CF=EF得∠E=∠ECF，所以∠ECF=∠OCA，于是可得到∠OCF=∠ACE=90°，然后根据切线的判定定理得到OC为⊙O的切线；
（2）先根据勾故定理计算出BC=6，则BE=14，再证明Rt△ABC∽Rt△EBM，利用先似比计算出MB，然后利用OM=BM-OB进行计算．

解答：解：（1）CF与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，∠ACE=90°，
∵∠EMB=90°，
∴∠A=∠E，
∵CF=EF，
∴∠E=∠ECF，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠ECF=∠OCA，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠ECF+∠ACF=∠ACE=90°，
∴OC⊥CF，
∴OC为⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
∴BE=BC+CE=14，
∵∠A=∠E，
∴Rt△ABC∽Rt△EBM，
∴

BC

BM

=

AB

EB

，即

6

BM

=

10

14

，
∴BM=8.4，
∴OM=BM-OB=8.4-5=3.4．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和三角形相似的判定与性质．