Question

如图所示，已知∠A的度数为α，∠AME与∠ANE的角平分线相交于点A₁，∠A₁ME与∠A₁NE的角平分线相交于点A₂，∠A₂ME与∠A₂NE的角平分线相交于点A₃，…，依此类推得到点A_n，则∠A+∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A_n的度数为    ．

Answer 1

【答案】分析：由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠A=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出规律．
解答：解：∵A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A₁=α，
∴∠A₁=α，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
即∠A=2²∠A₂=α，
∴∠A₂=α，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=α，
∴∠A+∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A_n=α+α+α+α+…+α==2α[1-]．
故答案是：2α[1-]．
点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．