Question

17．如图1，已知：正方形ABCD，点E为AD上一点，连接CE，过点D作DG⊥CE于G交AB于F．
（1）求证：DF=CE．
（2）如图2，连接BG，若E为AD的中点，BG=4，求FG的长为多少．

Answer 1

分析 （1）欲证明DF=CE，只要证明△ADF≌△DCE即可．
（2）如图2中，连接CF．首先证明BC=BG，再求出DG、DF即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠FAD=∠EDC=90°．
又∵DG⊥CE于G交AB于F，
∴∠ADF+∠CDG=∠CDG+∠GCD=90，
∴∠ADF=∠DCE．
在△ADF与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠EDC}\\{∠ADF=∠DCE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△DCE（AAS）
∴DF=CE．

（2）如图2中，连接CF．

∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，∠AFD=∠CED，
∵AE=ED，AD=BC，
∴AF=FB，∵BC=AD，∠A=∠FBC=90°，
∴△AFD≌△BFC，
∴∠AFD=∠BFC=∠CED，
∵AD∥BC，
∴∠CED=∠BCG，
∵∠FBC+∠FGC=180°，
∴B、F、G、C四点共圆，
∴∠BGC=∠BFC=∠BCG，
∴BG=BC=4，
∵tan∠ADF=$\frac{EG}{DG}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{2}$，设EG=x，则DG=2x，
∴x²+（2x）²=2²，
∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，∵DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴GF=DF-DG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题关键是证明BG=BC，题目比较难，属于中考压轴题．