Question

9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：（　　）
①CE=CF；
②线段EF的最小值为2$\sqrt{3}$；
③当AD=2时，EF与半圆相切；
④若点F恰好落在$\widehat{BC}$上，则AD=2$\sqrt{5}$．

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①④

Answer 1

分析 （1）由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证到CE=CF．
（2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO=90°，从而得到EF与半圆相切．
（4）利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长．

解答 解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CD=CF，
∴CE=CD=CF，故①正确；

②当CD⊥AB时，如图2所示；
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4$\sqrt{3}$，
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$；
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2$\sqrt{3}$，
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD，
∴线段EF的最小值为4$\sqrt{3}$，故②错误．

③当AD=2时，连接OC，如图3所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴CA=CO，∠ACO=60°，
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2，
∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，
∴OC⊥EF，
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切，故③正确；

④当点F恰好落在$\widehat{BC}$上时，连接FB、AF，如图4所示，
∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC，
∴∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠ACB，
∴ED∥BC，
∴△FHC∽△FDE，
∴$\frac{FH}{FD}$=$\frac{FC}{FE}$，
∵FC=$\frac{1}{2}$EF，
∴FH=$\frac{1}{2}$FD，
∴FH=DH，
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°，
∴BF=BD，
∴∠FBH=∠DBH=30°，
∴∠FBD=60°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAB=30°，
∴FB=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴DB=4，
∴AD=AB-DB=4，故④错误；
故选C．

点评 本题考查圆综合题、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．