Question

已知x³+x²+x+1=0，则x²⁰⁰⁴+x²⁰⁰³+x²⁰⁰²+…+x²+x+1=

 

．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：

分析：观察整式x+x²+x³+…+x²⁰⁰⁴通过提取公因式，可分解为含有因式1+x+x²+x³的形式．再将1+x+x²+x³的值作为一个整体代入求解．

解答：解：∵1+x+x²+x³=0，
∴1+x+x²+x³+…+x²⁰⁰⁴
=1+x（1+x+x²+x³）+x⁵（1+x+x²+x³）+x⁹（1+x+x²+x³）+…+x¹⁹⁹⁷（1+x+x²+x³）+x²⁰⁰¹（1+x+x²+x³）
=1+（1+x+x²+x³）（x+x⁵+x⁹+x¹²+…+x¹⁹⁹⁷+x²⁰⁰¹）
=1+0
=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了因式分解的运用，解决本题的关键是对x+x²+x³+…+x²⁰⁰⁴分解成为含有因式1+x+x²+x³的形式．