Rt△ABC中.∠C=90°.AB=10.AC=6.动点P.Q分别从A.B出发.P点运动的方向是A→C→B.动点Q运动的方向是从B→A.动点P的运动速度是每秒2个单位.动点Q的运动速度是每秒1个单位.点P运动到B点时运动停止．(1)设运动时间为x.△APQ的面积为y.求y关于x的函数解析式.并写出定义域,(2)在整个运动过程中.直线PQ能否过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，动点P，Q分别从A，B出发，P点运动的方向是A→C→B，动点Q运动的方向是从B→A，动点P的运动速度是每秒2个单位，动点Q的运动速度是每秒1个单位，点P运动到B点时运动停止．
（1）设运动时间为x，△APQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）在整个运动过程中，直线PQ能否过三角形的重心G，若能，写出这时x的值；
（3）在整个运动过程中，直线PQ能否与三角形的边垂直，若能，写出这时x的值．

分析（1）分点P在AC和BC边上，用三角形的面积公式求解即可；
（2）PQ过重心的含义在于PQ将Rt△ACB分成面积相等的两部分，即可用三角形的面积公式求解即可；
（3）分PQ⊥AC，PQ⊥BC，PQ⊥AB三种情况先判断出三角形相似，得出比例式即可建立方程求解即可．

解答解：（1）当点P在AC上时，即：0≤x≤3，
则BQ=2t，AP=2x，AQ=10-x，
在Rt△ACB中，AC=6，AB=10，
∴BC=8，
如图1，

过点Q作QG⊥AC，
∴QG∥BC，
∴$\frac{QG}{BC}=\frac{AQ}{AB}$，
∴$\frac{QG}{8}=\frac{10-2x}{10}$，
∴QG=$\frac{8}{5}（5-x）$，
∴y=S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP×QG=$\frac{1}{2}$×2x×$\frac{8}{5}（5-x）$=-$\frac{8}{5}{x}^{2}+16x$（0≤x≤3）
当点P在BC上时，即：3＜x≤7

则BQ=2x，BP=14-2x，AQ=10-x，
如图2，过点P作PG⊥AB，
在Rt△BPQ中，sinB=$\frac{PG}{BP}=\frac{PG}{14-2x}$
在Rt△ABC中，sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{PG}{14-2x}=\frac{3}{5}$
∴PG=$\frac{6}{5}（7-x）$，
∴y=S_△APQ=$\frac{1}{2}$AQ×PG=$\frac{1}{2}$（10-x）×$\frac{6}{5}（7-x）$=$\frac{3}{5}{x}^{2}-\frac{51}{5}x+42$，（3＜x≤7）
（2）PQ过重心的含义在于PQ将Rt△ACB分成面积相等的两部分，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$×6×8=24
∴y=$\frac{1}{2}$S_△ABC=12，
当点P在AC上时，-$\frac{8}{5}{x}^{2}+16x$=12
∴x=$\frac{10±\sqrt{70}}{2}$，
∵0≤x≤3
∴x=$\frac{10-\sqrt{70}}{2}$，
当点P在BC上时，$\frac{3}{5}{x}^{2}-\frac{51}{5}x+42$=12，
∴x=$\frac{17±\sqrt{89}}{2}$，
∵3＜x≤7
∴x=$\frac{17-\sqrt{89}}{2}$，
即：x的值为$\frac{10-\sqrt{70}}{2}$，$\frac{17-\sqrt{89}}{2}$，
（3）在整个运动过程中，P从A到C再到B，经过的时间为（6+8）/2=7s，Q运动的距离为1×7=7cm＜10cm，
即Q点始终在AB边上，
（a）    PQ⊥AC：由于Q点始终在AB边上，若有PQ⊥AC成立，则P必定在AC边上（0≤x≤3），
∴Rt△APQ∽Rt△ACB，
$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，∴$\frac{2x}{6}=\frac{10-x}{10}$∴x=$\frac{30}{13}$s＜3s，符合要求．
（b）   PQ⊥BC：与（a）的道理相同，应有P点在BC边上（3＜x≤7），
∴Rt△BPQ∽Rt△BCA，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，
∴$\frac{2（7-x）}{8}=\frac{x}{10}$，
∴x=5，符合要求；
（c）    PQ⊥AB
若P在AC边上（0≤x≤3），
应有Rt△AQP∽Rt△ACB（公共角为∠A），
$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{10-x}{6}=\frac{2x}{10}$，
∴x=$\frac{50}{11}$＞3s，不符合要求，
若P在CB边上（3＜x≤7），
应有Rt△BQP∽Rt△BCA（公共角为∠A），
$\frac{BQ}{BC}=\frac{BP}{AB}$，
∴$\frac{x}{8}=\frac{2（7-x）}{10}$，
∴x=$\frac{56}{13}$，符合要求，
综上所述，符合要求的时间为$\frac{30}{13}$s，5s，$\frac{56}{13}$s．