Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，CE⊥CD且CE=CD，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACB=90°、CE⊥CD利用角的计算即可得出∠BCD=∠FCE，再结合CB=CF、CD=CE即可证出△BCD≌△FCE（SAS）；
（2）由（1）可得出∠BDC=∠FEC，由EF∥CD利用平行线的性质即可得出∠DCE+∠FEC=180°，再结合CE⊥CD即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，CE⊥CD，
∴∠BCD+∠DCA=90°=∠DCA+∠FCE，
∴∠BCD=∠FCE．
在△BCD和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=CF}\\{∠BCD=∠FCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）解：∵△BCD≌△FCE，
∴∠BDC=∠FEC．
∵EF∥CD，
∴∠DCE+∠FEC=180°，
又∵CE⊥CD，
∴∠FEC=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠BDC=90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直的定义以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．