Question

如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB交⊙O于C，P为BC延长线上一动点，D为AP中点，DE⊥PA，交半径OC于E，连CD．下列结论：①PE⊥AE；②DC=DE；③∠OEA=∠APB；④PC+CE为定值．其中正确结论的个数为

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：①根据三角形外心的定义得到点E是△ABP的外心，然后利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半可以证明PE⊥AE．②根据直径所对的圆周角是直角以及①的结论，可以知道点C和点E在以点D为圆心的同一个圆上，得到DC=DE．③根据垂径定理得到∠AEO=∠AEB，然后用圆周角定理得到∠APB=∠AEO．④利用③的结论，结合图形，在直角三角形中用余弦进行计算得到PC+CE=OC，是圆的半径的倍，是一个定值．
解答：解：①如图：∵点D是AP的中点，且DE⊥AP，∴DE是AP的垂直平分线，
又AB是半⊙O的直径，OC⊥AB，∴OC是AB的垂直平分线，
∴点E是△ABP的外心，
∵∠ABC=45°，∴∠AEP=90°（同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）
∴PE⊥AE，故①正确．
②∵AB是半⊙O的直径，∴∠ACB=90°=∠ACP=∠AEP，
∴点C和点E在以点D为圆心的同一个圆上，∴DC=DE，故②正确．
③由①知点E是△ABP的外心，∴∠APB=∠AEB=∠AEO，故③正确．
④在直角△APC中，PC=AP•cos∠APC=AE•cos∠AE0=AE•=OE，
∴PC+CE=OE+CE=（OE+CE）=OC，
∴PC+CE为定值，是⊙O半径的倍．故④正确．
故选D．
点评：本题考查的是圆周角定理的综合运用，结合图形，利用圆周角定理，对每个选项进行分析，作出正确的判断．