题目内容
如图，已知抛物线C1：
的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（2分）
（2）如图（1），将抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2．，求C2的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C3．抛物线C3的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
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解：（1）由抛物线C1：得
顶点P的为（-2，-5）
∵点B（1，0）在抛物线C1上
解得，a＝
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称
∴PM过点B，且PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5）
∴抛物线C2的表达式为
（3）∵抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称
由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5）……………………………8分
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
作PK⊥NG于K
∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）
H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
NF2＝52+32＝34
①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝
，∴Q点坐标为（
，0）
②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝
，∴Q点坐标为（
，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．
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的左侧），点B的横坐标是1；