题目内容
如图，已知抛物线C1：y=
x2，把它平移后得抛物线C2，使C2经过点A（0，8），且与抛物线C1交于点B（2，n）．在x轴上有一点P，从原点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴的方向移动，设点P移动的时间为t秒，过点P作x轴的垂线l，分别交抛物线C1、C2于E、D，当直线l经过点B前停止运动，以DE为边在直线l左侧画正方形DEFG．
（1）判断抛物线C2的顶点是否在x轴上，并说明理由；
（2）当t为何值时，正方形DEFG在y轴右侧的部分的面积S有最大值？最大值为多少？
（3）设M为正方形DEFG的对称中心．当t为何值时，△MOP为等腰三角形？
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（1）判断抛物线C2的顶点是否在x轴上，并说明理由；
（2）当t为何值时，正方形DEFG在y轴右侧的部分的面积S有最大值？最大值为多少？
（3）设M为正方形DEFG的对称中心．当t为何值时，△MOP为等腰三角形？
分析：（1）把点B的坐标代入抛物线C1，进行计算求出n的值，从而得到点B的坐标，然后根据平移变换不改变二次函数图象的形状，设抛物线C2的解析式为y=
x2+bx+c，然后利用待定系数法求解，再根据抛物线的顶点坐标进行判断；
（2）根据两抛物线的解析式表示出点D、E的坐标，然后求出DE的长度，然后根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）根据正方形的性质结合抛物线的对称性可以判断，当正方形的中心在y轴右侧时，△MOP为等腰三角形，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点M到直线l的距离等于正方形边长的一半，然后列式求解即可．
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（2）根据两抛物线的解析式表示出点D、E的坐标，然后求出DE的长度，然后根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）根据正方形的性质结合抛物线的对称性可以判断，当正方形的中心在y轴右侧时，△MOP为等腰三角形，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点M到直线l的距离等于正方形边长的一半，然后列式求解即可．
解答：解：（1）抛物线C2的顶点在x轴上．理由如下：
∵点B（2，n）在抛物线C1上，
∴
×22=n，
解得n=2，
∴点B的坐标为（2，2），
∵抛物线C2是抛物线C1平移得到，
∴设抛物线C2的解析式为y=
x2+bx+c，
又∵C2经过点A（0，8），
∴
，
解得
，
∴抛物线C2的解析式为y=
x2-4x+8=
（x-4）2，
∴抛物线C2的顶点在x轴上；
（2）时间为t时，点D、E的坐标分别为D（t，
t2-4t+8），E（t，
t2），
∴DE=
t2-4t+8-
t2=-4t+8，
∴S=OP•DE=t（-4t+8）=-4t2+8t=-4（t-1）2+4，
∵直线l经过点B前停止运动，
∴0＜t＜2，
∴当t=1时，正方形DEFG在y轴右侧的部分S有最大值，最大值为4；
（3）如图，可以判定当点M在y轴左侧时，△MOP不能为等腰三角形，
∴当点M在y轴右侧，且在OP的垂直平分线上时，△MOP为等腰三角形，
此时∵点M是正方形的中心，
∴
DE=
OP，
即
（-4t+8）=
t，
解得t=
，
∵
＜2，
∴符合题意，
故当t=
时，△MOP为等腰三角形．
∵点B（2，n）在抛物线C1上，
∴
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解得n=2，
∴点B的坐标为（2，2），
∵抛物线C2是抛物线C1平移得到，
∴设抛物线C2的解析式为y=
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又∵C2经过点A（0，8），
∴
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解得
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∴抛物线C2的解析式为y=
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∴抛物线C2的顶点在x轴上；
（2）时间为t时，点D、E的坐标分别为D（t，
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∴DE=
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∴S=OP•DE=t（-4t+8）=-4t2+8t=-4（t-1）2+4，
∵直线l经过点B前停止运动，
∴0＜t＜2，
∴当t=1时，正方形DEFG在y轴右侧的部分S有最大值，最大值为4；
（3）如图，可以判定当点M在y轴左侧时，△MOP不能为等腰三角形，
∴当点M在y轴右侧，且在OP的垂直平分线上时，△MOP为等腰三角形，
此时∵点M是正方形的中心，
∴
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即
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解得t=
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∵
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∴符合题意，
故当t=
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点评：本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，正方形的性质，等腰三角形的性质，以及二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，需仔细分析并理解方可解决．
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的左侧），点B的横坐标是1；