题目内容

（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．
（1）写出A、C两点的坐标；
（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；
（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．
分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；
（2）如答图1所示，解题关键是求出点P、点Q的坐标，然后利用PA=2PQ，列方程求解；
（3）如答图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为：
CD
DE
=
PQ
AQ
，据此列方程求出m的值．
解答：解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=-1；x=0，得y=2，
∴A（-1，0），C（0，2）；

（2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如答图1所示．
∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线，
∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），
∴P（0，2m-2）；
直线l与y=2x+2交于点D，令y=m，则x=
m-2
2
，∴D（
m-2
2
，m），
设直线DP的解析式为y=kx+b，则有
b=2m-2
k•
m-2
2
+b=m
，解得：k=-2，b=2m-2，
∴直线DP的解析式为：y=-2x+2m-2．
令y=0，得x=m-1，∴Q（m-1，0）．
已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，
∴
OA2+OP2
=2
OP2+OQ2
，即
1+(2m-2)2
=2
(2m-2)2+(m-1)2
，
整理得：（m-1）2=
1
16
，解得：m=
5
4
（
5
4
＞1，不合题意，舍去）或m=
3
4
，
∴m=
3
4
．

（3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE．
依题意画出图形，如答图2所示．
由（2）可知，OQ=m-1，OP=2m-2，由勾股定理得：PQ=
5
（m-1）；
∵A（-1，0），Q（m-1，0），B（a，0），∴AQ=m，AB=a+1；
∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=
5
．
∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB，
∴
CD
DE
=
CA
AB
；
又∵CD•AQ=PQ•DE，∴
CD
DE
=
PQ
AQ
，
∴
CA
AB
=
PQ
AQ
，即
5
a+1
=
5
(m-1)
m
，
解得：m=
a+1
a
．
∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，m=
a+1
a
．
∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数m=
a+1
a
，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，则m不存在．
点评：本题是代数几何综合题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、解方程等知识点．题目综合性较强，有一定的难度．第（3）问中，注意比例式的转化
CD
DE
=
PQ
AQ
，这样可以简化计算．
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2
-
1
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3
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7
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