Question

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是（1）中抛物线AB段上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点，代入三点可确定解析式．
（2）如图，设P点的横坐标为m，相应的可求出纵坐标，根据相似三角形的性质，对应边成比例，可求出m的值，进而求出P的值．
（3）确定D点的横坐标的取值范围，求出△DCA的面积的函数式，根据取值范围可确定最大值．

解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，得

16a+4b-2=0 a+b-2=0.

（1分）
解得

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
∴此抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；（3分）

（2）存在．（4分）
如图，设P点的横坐标为m，
∵P是抛物线AB段上一动点，∴1＜m＜4，
则P点的纵坐标为-

1

2

m2+

5

2

m-2，
当1＜m＜4时，AM=4-m，PM=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

时，△APM∽△ACO，
即4-m=2(-

1

2

m2+

5

2

m-2)．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），∴P（2，1）．如图（5分）
②当

AM

PM

=

OC

OA

=

1

2

时，△APM∽△CAO，
即2(4-m)=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
解得m₁=4，m₂=5（均不合题意，舍去）
∴当1＜m＜4时，P（2，1）．
综上所述，符合条件的点P为（2，1）；
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-

1

2

t²+

5

2

t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：

4k+b=0 b=-2

，
解得：

k= 1 2 b=-2

，
∴直线AC的解析式为y=

1

2

x-2．
∴E点的坐标为（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=

1

2

DE•h+

1

2

DE•（4-h）=

1

2

DE•4，
∴S△DAC=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．

点评：本题考查二次函数的综合运用，通过已知点来确定函数式，和通过相似三角形的性质确定点的坐标，以及通过函数式和取值范围求得最大值．