Question

已知关于的一元二次方程．

（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；

（2）若m，n（）是此方程的两根，并且．直线l：交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；

（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角，得到直线，交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形的面积为时，求的值.

 

Answer 1

（1）证明：

∵为关于x的一元二次方程,

      ∴，即,

      ∴.

∴≥.

∴当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根.      

（2）解：关于x的一元二次方程的两根为

      .

   ∴.

   ∵m，n是方程的两根，且,

   ∴.

   ∴.                              …   ∴，.

   ∵,

   ∴.

   ∴直线l的解析式为.

   ∴直线l与x轴交点，与y轴交点.

∴为等腰直角三角形.

∴坐标原点O关于直线l的对称点的坐标为.

∴反比例函数的解析式为.   

（3）解：设点P的坐标为（0, p），延长PQ和交于点G.

   ∵轴，与反比例函数图象交于点Q,

   ∴四边形AOPG为矩形.

∴Q的坐标为.

   ∴.

   当，即时,

 ∵,

   ∴

            

            

.

∴.

   ∴.

     经检验，符合题意.

   ∴.                          

   ∴.

     点A关于y轴的对称点为，连结,易得.

∴.

∴.

∵.

∴.   

   当≤，即时，

可类似地求得，这与矛盾，所以此时点P不存在.

∴旋转角.