Question

如图，∠C=∠E=90°，EA=ED，CA=CB，且P为BD的中点，求证：PC=PE且PC⊥PE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长ED，交BC于F，连接PF，PC交EF于G，通过等腰三角形的性质和证明△EDP≌△PFC就可以得出PE=PC，∠EPD=∠CPF，从而得出结论．

解答：证明：延长ED，交BC于F，连接PF，PC交EF于G
∵AE=ED，∠E=∠C=90°，AC=BC，
∴∠ADE=45°
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴∠DFB=∠DFC=90°，
∴四边形ACFE是矩形，
∴AE=FC=ED
∵P是BD的中点，
∴PF⊥BD，PF=PD，∠PFB=45°，
∴∠EDP=∠PFC=135°．∠FPD=90°．
在△EDP和△PFC中

ED=CF ∠EDP=∠PFC PD=PF

，
∴△EDP≌△PFC（SAS），
∴PE=PC，∠EPD=∠CPF．
∵∠DPC+∠CPF=90°，
∴∠EPD+∠DPC=90°，
即∠EPG=90°，
∴PC⊥PE．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，矩形的判定就性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时合理添加辅助线是难点．