Question

如图，AD是△ABC的中线，P是AD的中点，延长BP交AC于点F．
（1）试说明PB=3PF；
（2）若AC的长为12，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）过D作DE∥AC，然后利用“角边角”证明△PDE和△PAF全等，根据全等三角形对应边相等可得PE=PF，再根据平行线分线段成比例定理列式求出BE=EF，然后求解即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DE=AF，然后求出AF、FC的关系，再求解即可．

解答：解：（1）过D作DE∥AC，交BF于点E，
∴∠PDE=∠PAF，
∵P是AD的中点，
∴AP=DP，
∵在△PDE和△PAF中，

∠PDE=∠PAF AP=DP ∠APF=∠DPE

，
∴△PDE≌△PAF（ASA），
∴PE=PF，
由DE∥AC，得到

BD

DC

=

BE

EF

，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴BE=EF=2PF，
∴BP=3PF；

（2）∵△PDE≌△PAF，
∴DE=AF，
∴

DE

FC

=

AF

FC

=

1

2

，
∴AF=

1

1+2

AC=

1

3

×12=4．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，熟记平行线分线段成比例定理也很重要．