Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．

【解析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．

（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．

∵该抛物线经过点（4，1），

∴1=4a，解得：a=，

∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：

，解得：，，

∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．

作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1，

∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直线AB′的解析式为y=-x+，

当y=-1时，有-x+=-1，

解得：x=，

∴点P的坐标为（，-1）．

（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，

∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，

∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．

∵M（m，n）为抛物线上一动点，

∴n=m2-m+1，

∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，

整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．

∵m为任意值，

∴，

∴，

∴定点F的坐标为（2，1）．