Question

【题目】如图，已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；

（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）（﹣5，﹣18）或（3，2）．

【解析】

（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可；

（2）设M（m，-m+2），则N（m，-m2+m+2），则MN=（-m2+m+2）-（-m+2）=-m2+2m，根据MN=OC=2列方程可得M的横坐标，根据平行四边形的面积公式可得结论；

（3）分两种情况：①当D在x轴的下方：根据AC∥BD，直线解析式k相等可设直线BD的解析式为：y=2x+b，把B（4，0）代入得直线BD的解析式为：y=2x-8，联立方程可得D的坐标；②当D在x轴的上方，根据对称可得M的坐标，利用待定系数法求直线BM的解析式，与二次函数的交点，联立方程可得D的坐标．

（1）当x=0时，y=2，

∴C（0，2），

当y=0时，﹣x+2=0，x=4，

∴B（4，0），

把C（0，2）和B（4，0）代入抛物线y=﹣+bx+c中得：，

解得：，

∴该抛物线的表达式：y=；

（2）如图1，

∵C（0，2），

∴OC=2，

设M（m，﹣m+2），则N（m，），

∴MN=（+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，

∵MN∥y轴，

当四边形OMNC是平行四边形时，MN=OC，

即﹣m2+2m=2，

解得：m1=m2=2，

∴Sspan>OCMN=OC×2=2×2=4；

（3）分两种情况：

当y=0时，﹣+2=0，

解得：x1=4，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0），

易得直线AC的解析式为：y=2x+2，

①当D在x轴的下方时，如图2，

∵AC∥BD，

∴设直线BD的解析式为：y=2x+b，

把B（4，0）代入得：0=2×4+b，b=﹣8，

∴直线BD的解析式为：y=2x﹣8，

则2x﹣8=+2，解得：x1=﹣5，x2=4（舍），

∴D（﹣5，﹣18）；

②当D在x轴的上方时，如图3，

作抛物线的对称轴交直线BD于M，将BE（图2中的点D）于N，

对称轴是：x=﹣=，

∵∠CAO=∠ABE=∠DAB，

∴M与N关于x轴对称，

直线BE的解析式：y=2x﹣8，

当x=时，y=﹣5，

∴N（，﹣5），M（，5），

直线BM的解析式为：y=﹣2x+8，

﹣2x+8=﹣+2，解得：x1=3，x2=4（舍），

∴D（3，2），

综上所述，点D的坐标为：（﹣5，﹣18）或（3，2）．