题目内容
（1）如图①所示，?ABCD中，E1、E2为对角线AC的三等分点，连接BE1并延长交AD于P，连接PE2并延长交BC于Q，试说明BQ与CQ的关系；
（2）如图②所示，?ABCD中，E1、E2、E3为对角线AC的四等分点，连接BE1并延长交AD于P，连接PE3并延长交BC于Q，猜想BQ与CQ的关系（不必写证明过程）；
（3）如图③所示，若取AC的n等分点，即E1、E2、…En-1，连接BE1并延长交AD于P，连接PEn-1并延长交BC于Q，试说明BQ与CQ的关系；
（4）若将?ABCD条件改为“梯形”ABCD，AD∥BC，其它条件不变，（3）中的结论是否成立？（直接写“成立”或“不成立”，不必说明理由）
（2）如图②所示，?ABCD中，E1、E2、E3为对角线AC的四等分点，连接BE1并延长交AD于P，连接PE3并延长交BC于Q，猜想BQ与CQ的关系（不必写证明过程）；
（3）如图③所示，若取AC的n等分点，即E1、E2、…En-1，连接BE1并延长交AD于P，连接PEn-1并延长交BC于Q，试说明BQ与CQ的关系；
（4）若将?ABCD条件改为“梯形”ABCD，AD∥BC，其它条件不变，（3）中的结论是否成立？（直接写“成立”或“不成立”，不必说明理由）
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）由平行四边形的性质可以得出△AE1P∽△CE1B，就可以得出AP：BC=1：2，由△CE2Q∽△AE2P就可以得出CQ：AP=1：2，就可以表示出CQ和BQ，从而得出结论；
（2）由平行四边形的性质可以得出△AE1P∽△CE1B，就可以得出AP：BC=1：3，由△CE3Q∽△AE3P就可以得出CQ：AP=1：3，就可以表示出CQ和BQ，从而得出结论；
（3）由平行四边形的性质可以得出△AE1P∽△CE1B，就可以得出AP：BC=1：（n-1），由△CEn-1Q∽△AEn-1P就可以得出CQ：AP=1：（n-1），就可以表示出CQ和BQ，从而得出结论；
（4）如图④，由梯形的性质可以得出△AE1P∽△CE1B，就可以得出AP：BC=1：（n-1），由△CEn-1Q∽△AEn-1P就可以得出CQ：AP=1：（n-1），就可以表示出CQ和BQ，从而得出结论；
（2）由平行四边形的性质可以得出△AE1P∽△CE1B，就可以得出AP：BC=1：3，由△CE3Q∽△AE3P就可以得出CQ：AP=1：3，就可以表示出CQ和BQ，从而得出结论；
（3）由平行四边形的性质可以得出△AE1P∽△CE1B，就可以得出AP：BC=1：（n-1），由△CEn-1Q∽△AEn-1P就可以得出CQ：AP=1：（n-1），就可以表示出CQ和BQ，从而得出结论；
（4）如图④，由梯形的性质可以得出△AE1P∽△CE1B，就可以得出AP：BC=1：（n-1），由△CEn-1Q∽△AEn-1P就可以得出CQ：AP=1：（n-1），就可以表示出CQ和BQ，从而得出结论；
解答：解：（1）
=
．
∵E1、E2为对角线AC的三等分点，
∴
=
，
=
．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AE1P∽△CE1B，△CE2Q∽△AE2P
∴
=
=
，
=
=
，
∴BC=2AP，AP=2CQ，
∴BC=4CQ，
∴BQ=3CQ．
∴
=
；
（2）
=
∵E1、E2、E3为对角线AC的四等分点，
∴
=
，
=
．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AE1P∽△CE1B，△CE3Q∽△AE3P
∴
=
=
，
=
=
，
∴BC=3AP，AP=3CQ，
∴BC=9CQ，
∴BQ=8CQ．
∴
=
；
（3）
=
．
∵E1、E2、…En-1为对角线AC的n等分点，
∴
=
，
=
．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AE1P∽△CE1B，△CE3Q∽△AE3P
∴
=
=
，
=
=
，
∴BC=（n-1）AP，AP=（n-1）CQ，
∴BC=（n-1）2CQ，
∴BQ=（n-1）2CQ-CQ=[（n-1）2-1]CQ．
∴
=
；
（4）
=
成立．
如图④，∵E1、E2、…En-1为对角线AC的n等分点，
∴
=
，
=
．
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴△AE1P∽△CE1B，△CE3Q∽△AE3P
∴
=
=
，
=
=
，
∴BC=（n-1）AP，AP=（n-1）CQ，
∴BC=（n-1）2CQ，
∴BQ=（n-1）2CQ-CQ=[（n-1）2-1]CQ．
∴
=
；
| CQ |
| BQ |
| 1 |
| 3 |
∵E1、E2为对角线AC的三等分点，
∴
| AE1 |
| CE1 |
| 1 |
| 2 |
| CE2 |
| AE2 |
| 1 |
| 2 |
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AE1P∽△CE1B，△CE2Q∽△AE2P
∴
| AP |
| BC |
| AE1 |
| CE1 |
| 1 |
| 2 |
| CQ |
| AP |
| CE2 |
| AE2 |
| 1 |
| 2 |
∴BC=2AP，AP=2CQ，
∴BC=4CQ，
∴BQ=3CQ．
∴
| CQ |
| BQ |
| 1 |
| 3 |
（2）
| CQ |
| BQ |
| 1 |
| 8 |
∵E1、E2、E3为对角线AC的四等分点，
∴
| AE1 |
| CE1 |
| 1 |
| 3 |
| CE3 |
| AE3 |
| 1 |
| 3 |
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AE1P∽△CE1B，△CE3Q∽△AE3P
∴
| AP |
| BC |
| AE1 |
| CE1 |
| 1 |
| 3 |
| CQ |
| AP |
| CE3 |
| AE3 |
| 1 |
| 3 |
∴BC=3AP，AP=3CQ，
∴BC=9CQ，
∴BQ=8CQ．
∴
| CQ |
| BQ |
| 1 |
| 8 |
（3）
| CQ |
| BQ |
| 1 |
| (n-1)2-1 |
∵E1、E2、…En-1为对角线AC的n等分点，
∴
| AE1 |
| CE1 |
| 1 |
| n-1 |
| CEn-1 |
| AEn-1 |
| 1 |
| n-1 |
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AE1P∽△CE1B，△CE3Q∽△AE3P
∴
| AP |
| BC |
| AE1 |
| CE1 |
| 1 |
| n-1 |
| CQ |
| AP |
| CEn-1 |
| AEn-1 |
| 1 |
| n-1 |
∴BC=（n-1）AP，AP=（n-1）CQ，
∴BC=（n-1）2CQ，
∴BQ=（n-1）2CQ-CQ=[（n-1）2-1]CQ．
∴
| CQ |
| BQ |
| 1 |
| (n-1)2-1 |
（4）
| CQ |
| BQ |
| 1 |
| (n-1)2-1 |
如图④，∵E1、E2、…En-1为对角线AC的n等分点，
∴
| AE1 |
| CE1 |
| 1 |
| n-1 |
| CEn-1 |
| AEn-1 |
| 1 |
| n-1 |
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴△AE1P∽△CE1B，△CE3Q∽△AE3P
∴
| AP |
| BC |
| AE1 |
| CE1 |
| 1 |
| n-1 |
| CQ |
| AP |
| CEn-1 |
| AEn-1 |
| 1 |
| n-1 |
∴BC=（n-1）AP，AP=（n-1）CQ，
∴BC=（n-1）2CQ，
∴BQ=（n-1）2CQ-CQ=[（n-1）2-1]CQ．
∴
| CQ |
| BQ |
| 1 |
| (n-1)2-1 |
点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，梯形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用相似三角形的性质求解是关键．
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