题目内容
【题目】如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．
（1）发现：在图1中，
，说明理由；
（2）探索：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出
的值；
（3）拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DF的中点，若BD⊥CE，请直接写出的值．
【答案】（1）详见解析；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM，只要证明四边形MNDH是矩形，即可解出答案；
（2）如图2中，连接AM、AN，只要证明△BAD∽△MAN，利用相似比即可解出答案；
（3）如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O，由△BAD∽△MAN，推出
=
=sin∠ABC，只要证明△ABC是等腰直角三角形即可解出答案.
（1）如图1中，作DH⊥BC于H，连接AM．
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∵△ADE时等边三角形，
∴∠ADE=60°=∠B，
∴DE∥BC，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥DE，
∴AM平分线段DE，
∵DN=NE，
∴A、N、M共线，
∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°，
∴四边形MNDH是矩形，
∴MN=DH，
∴=
=sin60°=；
（2）如图2中，连接AM、AN．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，BM=MC，DN=NE，
∴AM⊥BC，AN⊥DE，
∴=sin60°，
=sin60°，
∴=，
∵∠MAB=∠DAN=30°，
∴∠BAD=∠MAN，
∴△BAD∽△MAN，
∴==sin60°=．
（3）如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O．
∵AB=AC，AD=AE，BM=CM，DN=NE，
∴AM⊥BC，AN⊥DE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠ABC=∠ADE，
∴sin∠ABM=sin∠ADN，
∴=，
∵∠BAM=
BAC，∠DAN=∠DAE，
∴∠BAM=∠DAN，
∴∠BAD=∠MAN．
∴△BAD∽△MAN，
∴==sin∠ABC，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵BD⊥CE，
∴∠BHC=90°，
∴∠ACE+∠COH=90°，∵∠AOB=∠COH，
∴∠ABD+∠AOB=90°，
∴∠BAO=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴
=sin45°=．
