Question

【题目】如图，在矩形中，点为上一点，将沿翻折后点恰好落在边上的点处，过作于，交于，连接．

求证：四边形是菱形；

若，，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）20

【解析】

（1）根据翻折的性质可得∠1=∠2，EC=EF，再根据同角的余角相等求出∠1=∠3，从而得到∠2=∠3，根据同位角相等，两直线平行可得EF∥CG，再根据垂直于同一直线的两直线平行求出FG∥CD，从而求出四边形CEFG是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；

（2）根据翻折的性质可得BF=BC=10，然后利用勾股定理列式求出AF，从而得到DF的长，设CE=EF=x，表示出DE．在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程求出x的值，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．

（1）根据翻折，∠1=∠2，EC=EF．

∵FH⊥BC，∴∠3+∠4=90°．

又∵∠1+∠4=∠BCD=90°，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴EF∥CG．

又∵FH⊥BC，∠BCD=90°，∴FG∥CD，∴四边形CEFG是平行四边形．

∵EC=EF（已证），∴四边形CEFG是菱形；

（2）根据翻折，BF=BC=10．在Rt△ABF中，AF===6，∴DF=AD﹣AF=10﹣6=4，设CE=EF=x，则DE=CD﹣CE=8﹣x．在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，所以，四边形CEFG的面积=CEDF=5×4=20．