Question

【题目】如图，已知，将一个直角的顶点置于点，并将它绕着点旋转，两条直角边分别交射线于点，交的延长线于点，联结交于点，设.

（1）当时，求的长；

（2）若，求关于的函数关系式及定义域；

（3）旋转过程中，若，求此时的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=x+4（0≤x≤）；（3）.

【解析】

（1）首先证明，∠CBE=90°，∠BCE=30°，根据tan30°=，即可解决问题．

（2）如图2中，作DM⊥BC于M．只要证明△DCM∽△CEB，得，由此即可解决问题．

（3）先证明∠EDA=∠EDC，由EA⊥DA，EC⊥DC，推出EA=EC=x+3，在Rt△BCE中，根据EC2=BE2+BC2，列出方程即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵∠DCE=90°，∠DCF=60°，

∴∠BCE=30°，

∵AB⊥BC，

∴∠CBE=90°，

∴tan30°=，

∴

∴BE=．

（2）如图2中，作DM⊥BC于M．

∵AG∥BC，AB⊥BC，

∴AG⊥AB，

∴∠A=∠ABM=∠DMB=90°，

∴四边形ABMD是矩形，

∴BM=AD=y，AB=DM=3，CM=4-y，

∵∠DCM+∠CDM=90°，∠DCM+∠BCE=90°，

∴∠CDM=∠BCE，∵∠DMC=∠CBE，

∴△DCM∽△CEB，

∴

∴，

∴y=x+4

由题意可得 ，即

解得：0≤x≤

∴y=x+4（0≤x≤）

（3）如图3中，

∵CD=CF，

∴∠CDF=∠CFD，

∵AG∥BC，

∴∠CFD=∠ADF，

∴∠EDA=∠EDC，

∵EA⊥DA，EC⊥DC，

∴EA=EC=x+3，

在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，

∴（x+3）2=x2+42，

∴x=，

∴BE=．