Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：                                   [根据2010年青岛中考试卷改编]

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC.

∴CE = CQ.                                              

由题意知：CE = t，BP =2 t，                            

∴CQ = t.

∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .

则AP = 10－2t.

∴10－2t = 8－t.

解得：t = 2.                                             

答：当t = 2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.

（2）过P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴ .   ∴PM = .        

∵BC = 6 cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.

∴y = S_△ABC－S_△BPE =－= －

= = .                     

∵，∴抛物线开口向上.

∴当t = 3时，y_最小=.                             

答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm².

 （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作，交AC于N，

∴.

∵，∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．                          

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .                                     

∴ .  ∴ . 

∵    ∴

解得：t = 1.                                         

答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.