Question

12．如图，已知边长为2的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点，则是弦DE的长为（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，即可求出．

解答 解：连接CE，作EF⊥PF
∵∠DAP=∠PCE，∠APD=∠CPE，
∴△APD∽△CPE，
∴$\frac{AP}{CP}$=$\frac{DP}{EP}$，
∵P为边CD的中点
∴$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\frac{1}{PE}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵FE∥AD
∴△APD∽△EPF，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{DP}{PF}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{PF}$，
∴PF=$\frac{1}{5}$，
∴EF=$\frac{2}{5}$，
DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故选C．

点评 此题主要考查了正多边形与圆的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．