Question

12．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点（不与A、B重合）．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=2，BD=4，求ED的长．

Answer 1

分析 （1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可判断．
（2）只要证明∠EAD=90°，AE=BD=4，AD=2，根据勾股定理即可计算．

解答 （1）证明：∵，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴AC=CB，EC=DC，∠ECA=∠DCB，∠B=∠CAB=45°，
在△ECA和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD．
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAB=90°，
∴ED=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，发现∠EAD=90°是今天的突破口，属于中考常考题型．