Question

在平面直角坐标系中，反比例函数y=

1

x

（x＞0）和y=

-4

x

（x＜0）如图所示，O为坐标原点．直线AB：y=-

1

3

x+

4

3

分别于它们交于A，B两点．过点O任作直线l交线段AB于点P，设A，B到直线l的距离分别为d₁、d₂，则d₁+d₂的最大值为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：先用直线的解析式分别与两人反比例函数组成方程组，解出方程组的解，得到A，B的坐标，因为当直线l垂直于线段AB时，d₁+d₂的最大，所以求出AB的长度即可．

解答：解：由

y= 1 x y=- 1 3 x+ 4 3

且x＞0，

y= -4 x y=- 1 3 x+ 4 3

且x＜0，
第一个方程组的解为

x=1 y=1

或

x=3 y= 1 3

，第二个方程组的解为：

x=-2 y=2

∴从图象上可看出A的坐标为（-2，2），B的坐标为（1，1），
∵过点O任作直线l交线段AB于点P，
设A，B到直线l的距离分别为d₁、d₂，
∴当直线l垂直于线段AB时，d₁+d₂的最大值，即AB的长度．
∵AB=

(1-2)2+(1+2)2

=

10

，
∴d₁+d₂的最大值为

10

．
故答案为：

10

．

点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确当直线l垂直于线段AB时，d₁+d₂的最大值．