Question

（2012•昌平区二模）如图，⊙O的半径OA与OB互相垂直，P是线段OB延长线上的一点，连接AP交⊙O于点D，点E在OP上且DE=EP．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）作DH⊥OP于点H，若HE=6，DE=4

3

，求⊙O的半径的长．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质首先得出∠2=∠P，∠A=∠1，再利用∠A+∠P=90°，得出∠1+∠2=90°即可得出OD⊥DE，即可证出；
（2）首先利用cos∠3=

HE

DE

=

6

4 3

即可求出∠3=30°，再利用在Rt△ODE中，tan∠3=

OD

DE

，即可求出⊙O的半径OD．

解答：（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠1．
∵DE=EP，
∴∠2=∠P．
∵OA⊥OB于O，
∴∠A+∠P=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠ODE=90°．
即 OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵DH⊥OP于点H，
∴∠DHE=90°．
∵HE=6，DE=4

3

，
∴cos∠3=

HE

DE

=

6

4 3

=

3

2

．
∴∠3=30°
∵在Rt△ODE中，tan∠3=

OD

DE

，
∴

OD

4 3

=

3

3

．
∴OD=4．
即⊙O的半径为4．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的判定和锐角三角函数应用，利用等腰三角形的性质得出∠2=∠P，∠A=∠1是解题关键．