Question

如图，在△ABC中，AB=AC，中线BD，CE交于点M，EG∥BD，DF∥CE，EG与DF交于点N，连结DE，MN．
（1）猜想线段MN与DE间的关系；
（2）试证明你的猜想．

Answer 1

考点：菱形的判定,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）MN与DE互相垂直平分；
（2）先由EG∥BD，DF∥CE，根据平行四边形的定义得出四边形MEND是平行四边形．再由SAS证明△EBC≌△DCB，得出∠DBC=∠ECB，由平行线的性质得到
∠DEN=∠EDN，则NE=ND，即平行四边形MEND是菱形，从而得出MN垂直平分ED．

解答：（1）解：MN与DE互相垂直平分；

（2）证明：∵EG∥BD，DF∥CE，
∴四边形MEND是平行四边形．
∵AB=AC，CE，BD是中线，
∴EB=DC，∠ABC=∠ACB，ED∥BC，
∴△EBC≌△DCB，∠DEC=∠ECB，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠DEN=∠EDN，
∴NE=ND，
∴平行四边形MEND是菱形，
∴MN垂直平分ED．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线的性质，综合性较强，难度适中．