Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（，0），连接AB，若对于平面内一点C，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”．

（1）在点C1（﹣2，3+2），点C2（0，﹣2），点C3（3+，﹣）中，线段AB的“等长点”是点________；

（2）若点D（m，n）是线段AB的“等长点”，且∠DAB=60°，求点D的坐标；

（3）若直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）C1，C3；（2）D（﹣，0）或D（，3）；（3）﹣≤k≤

【解析】

（1）直接利用线段AB的“等长点”的条件判断；

（2）分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n；

（3）先判断出直线y=kx+3与圆A，B相切时，如图2所示，利用相似三角形的性质即可求出结论．

（1）∵A（0，3），B（，0），

∴AB=2，

∵点C1（﹣2，3+2），

∴AC1==2，

∴AC1=AB，

∴C1是线段AB的“等长点”，

∵点C2（0，﹣2），

∴AC2=5，BC2==，

∴AC2≠AB，BC2≠AB，

∴C2不是线段AB的“等长点”，

∵点C3（3+，﹣），

∴BC3==2，

∴BC3=AB，

∴C3是线段AB的“等长点”；

故答案为：C1，C3；

（2）如图1，

在Rt△AOB中，OA=3，OB=，

∴AB=2，tan∠OAB==，

∴∠OAB=30°，

当点D在y轴左侧时，

∵∠DAB=60°，

∴∠DAO=∠DAB﹣∠BAO=30°，

∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”，

∴AD=AB，

∴D（﹣，0），

∴m=，n=0，

当点D在y轴右侧时，

∵∠DAB=60°，

∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°，

∴n=3，

∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”，

∴AD=AB=2，

∴m=2；

∴D（，3）

（3）如图2，

∵直线y=kx+3k=k（x+3），

∴直线y=kx+3k恒过一点P（﹣3，0），

∴在Rt△AOP中，OA=3，OP=3，

∴∠APO=30°，

∴∠PAO=60°，

∴∠BAP=90°，

当PF与⊙B相切时交y轴于F，

∴PA切⊙B于A，

∴点F就是直线y=kx+3k与⊙B的切点，

∴F（0，﹣3），

∴3k=﹣3，

∴k=﹣，

当直线y=kx+3k与⊙A相切时交y轴于G切点为E，

∴∠AEG=∠OPG=90°，

∴△AEG∽△POG，

∴，

∴=，解得：k=或k=（舍去）

∵直线y=kx+3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，

∴﹣≤k≤，