Question

【题目】在中，，， 是的角平分线．

（1）如图 1，求证：；

（2）如图 2，作的角平分线交线段于点，若，求的面积；

（3）如图 3，过点作于点，点是线段上一点（不与 重合），以为一边，在 的下方作，交延长线于点，试探究线段,与之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的面积=；（3）若点在上时，，理由见解析；若点在上时，，理由见解析．

【解析】

（1）利用角平分线的性质，证得，再证得，在中，利用角所对直角边等于斜边的一半即可证得结论；　

（2）作，先证得，在和中，分别利用角所对直角边等于斜边的一半求得BC和CD的长，从而求得的长，即可求得的面积；

（3）分两种情况讨论，点在上和点在上时，采用补短的方法，利用全等三角形的判定和性质即可证明．

（1）在中，，，

∴，

∵是的角平分线，

∴，

∴，

在中，，，

∴，

∴；

（2）如图2，过点作，

由(1)得，

∵平分，

，

，

，

，

在中，，，，

，

，

在中，，，

，

，

，

∴的面积；

（3）若点在上时，，

理由如下：如图3所示：延长使得，连接，

，是的角平分线，于点，

，

，且，

是等边三角形，

，

，

在和中，

，

，

，

；

（3）若点在上时，，

理由如下：如图4，延长至，使得，连接，

由（1）得，

∵于点，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

，

，

，

即，

在和中，

，

，

，

，

．