Question

14．已知：△ABC是边长为3的等边三角形，以BC为底边作一个顶角为120°等腰△BDC．点M、点N分别是AB边与AC边上的点，并且满足∠MDN=60°．

（1）如图1，当点D在△ABC外部时，求证：BM+CN=MN；
（2）在（1）的条件下求△AMN的周长；
（3）当点D在△ABC内部时，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出△AMN的周长．

Answer 1

分析 （1）延长AB至F，使BF=CN，连接DF，只要证明△BDF≌△CND，△DMN≌△DMF即可解决问题；
（2）利用（1）中结论即可解决问题；
（3）延长BD交AC于P，CD于Q，令KP=QM，交AC于P，连接DK．通过证明△BDQ≌△CDP，△MDQ≌△PDK，△MDN≌△KDN证得△AMN的周长=$\frac{1}{2}$（AB+AC）=3．

解答 解：（1）延长AB至F，使BF=CN，连接DF，

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
在Rt△BDF和Rt△CND中，
∵BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF，
∵MF=BM+BF=MN+CN，
∴MN=BM+CN．

（2）∵MN=BM+CN，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．

（3）延长BD交AC于P，CD于Q，令KP=QM，交AC于P，连接DK．

∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDQ=∠CDP=60°
又∵△ABC等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴∠MBD=∠PCD=30°，CQ⊥AB，BP⊥AC，
∴AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，AP=PC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
在△BDQ和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QBD=∠PCD}\\{BD=CD}\\{∠BDQ=∠CDP}\end{array}\right.$，
∴△BDQ≌△CDP（ASA），
∴BQ=PC，QD=PD，
∵CQ⊥AB，BP⊥AC，
∴∠MQD=∠DPK=90°，
在△MDQ与△PDK中，
$\left\{\begin{array}{l}{QD=PD}\\{∠MQD=∠DPK}\\{QM=PK}\end{array}\right.$，
∴△MDQ≌△PDK（SAS），
∴∠QDM=∠PDK，DM=DK，
∵∠BDQ=60°∠MDN=60°，
∴∠QDM+∠PDN=60°，
∴∠PDK+∠PDN=60°，
即∠KDN=60°，
在△MDN与△KDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DK}\\{∠MDN=∠KDN=60°}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△KDN（SAS），
∴MN=KN=NP+PK，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AQ+AP=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=3
故△AMN的周长为3．

点评 本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．